Великая китайская империя

О есть класс, чей единственный член есть нуль-класс.

Остается определить «последующий элемент». При данном некотором числе п пусть а будет классом, имеющим п членов, и пусть х будет термином, не являющимся членом а. Тогда класс, состоящий из а с добавленным х будет иметь п + 1 членов. Таким образом, мы будем иметь следующее определение:

Последующим элементом числа терминов в классе а является число терминов в классе, состоящем из а вместе с х, где х есть некоторый термин, не принадлежащий к этому классу.

Тут требуется некоторая полировка для того, чтобы сделать это определение совершенным, но нас сейчас не должно это занимать1 Следует помнить, что мы уже дали логическое определение числа в терминах класса, а именно, мы определили его как множество всех классов, подобных данному классу.

Таким образом, мы свели три примитивных понятия Пеано к идеям логики: мы дали им определение, сделав их вполне определенными, так что они больше не обладают бесконечным числом значений, которые имелись тогда, когда мы требовали от них только выполнения пяти аксиом Пеано. Мы устранили эти понятия из фундаментального аппарата и круга терминов, которые надо просто интуитивно принять, тем самым увеличив дедуктивную ясность математики.

Что касается пяти примитивных утверждений, мы уже преуспели в выведении двух из них из нашего определения «натурального числа». Как обстоят дела с остальными тремя? Очень легко доказать, что 0 не является последующим элементом никакого числа и что последующий элемент любого числа есть число. Но остается некоторая трудность в отношении последнего примитивного утверждения, а именно: «нет двух чисел, имеющих один и тот же последующий элемент». Трудность возникает, когда общее число индивидов во вселенной конечно; для двух данных натуральных чисел w и и, ни одно из которых не является всеобщим числом индивидов во вселенной, легко доказать, что мы не можем иметь ш+1=я+1идо тех пор, пока не имеем т = п. Но предположим, что всеобщее число индивидов во вселенной равно (скажем) 10, тогда не будет класса из 11 индивидов, и число 11 будет тогда нуль-классом. Им же будет и число 12. Тогда мы будем иметь 11 = 12, и значит, последующий элемент 10 будет таким же, как и последующий элемент 11, хотя 10 не совпадает с 11. Таким образом, мы будем иметь два различных числа с одним и тем же последующим элементом. Этого нарушения третьей аксиомы не могло бы возникнуть, если бы число индивидов во вселенной не было конечным.