Нанте кий эдикт

Иерархия пропозиций И функций, стало быть, остается уместной как раз в тех случаях, в которых необходимо избежать парадокса.

Легко доказать, что, согласно определению, 0 и 1 являются кардинальными числами.

Однако необходимо отметить, что, согласно приведенным выше определениям, 0,1 и все другие кардинальные числа являются неопределенными символами типа els и имеют столь много значений, сколько существует типов. Начнем с 0; значение 0 зависит от значения Л, а значение Л различается согласно типу, нуль-классом которого он является. Таким образом, существует столько же 0, сколько существует типов; то же самое применяется ко всем другим кардинальным числам. Тем не менее, если два класса а и В относятся к различным типам, мы можем говорить о них как об имеющих одно и то же кардинальное число или что один из них имеет кардинальное число большее, чем Другой, поскольку одно-однозначное отношение может иметь место между элементами а и В даже тогда, когда an В относятся к различным типам. Например, пусть В будет i"a, т. е. классом, чьими элементами являются классы, состоящие из единственного члена а. Тогда i"a относится к более высокому типу, чем а, но подобно а, поскольку соотнесено с а посредством одно-однозначного отношения I.

Иерархия типов имеет важные следствия в отношении сложения. Предположим, у нас есть класс из а членов и класс из В членов, где а и В являются кардинальными числами; может случиться так, что их совершенно невозможно объединить, чтобы получить класс, состоящий из членов а и из членов В, поскольку, если классы не относятся к одному и тому же типу, их логическая сумма бессмысленна. Только там, где рассматриваемое число классов конечно, мы можем устранить практические следствия этого благодаря тому факту, что мы всегда можем применить объединение к классу, который увеличивает свой тип до любой требуемой степени без изменения своего кардинального числа. Например, при любом классе а класс с"а имеет то же самое кардинальное число, но относится к типу, идущему за а. Следовательно, для любого конечного числа классов различных типов мы можем увеличить все их до типа, который мы можем назвать наименьшим общим множителем всех рассматриваемых типов; и можно показать, что это может быть сделано таким способом, что результирующие классы не будут иметь общих элементов. Затем мы можем образовать логическую сумму всех полученных таким образом классов, и ее кардинальное число будет арифметической суммой кардинальных чисел изначальных классов.