Но и позднее суждения (в частности, включающие квантификацию) были включены в эту схему, которая и является не чем иным, как логическим следствием этой точки зрения, поскольку, например, универсальные суждения, как объективно существующие сущности, очевидно, принадлежат к той же самой категории идеальных объектов, как классы и концепции, и ведут к тем же самым видам парадоксов, если допущены без ограничений.
Что касается классов, то эта программа действительно выполнена, то есть правила для перевода предложений, содержащих имена классов или термин «класс», в такие предложения, которые их не содержат, были установлены точно, и основания теории, то есть область тех предложений, в которые надо осуществить перевод, ясны, так что от классов можно избавиться (в рамках системы Principia), но только если предположить существование концепций всякий раз там, где собираются сконструировать класс. Когда же дело касается концепций и интерпретации предложений с ними или их синонимами, ситуация никоим образом не ясна. Во-первых, некоторые из них (примитивные предикаты и отношения, такие как «красный» и «холоднее») должны, кажется, рассматриваться как реальные объекты25; остальные (в частности, согласно второму изданию Principia) все понятия типа более высокого, чем первый, и, следовательно, все интересные логические понятия рассматриваются как нечто сконструированное (то есть как нечто не принадлежащее мировому «инвентарю»); но ни базисная область суждений, в терминах которой, наконец, все может быть интерпретировано, ни метод интерпретации не являются такими ясными, как в случае классов (см. ниже).
Вся эта схема не-класс-теории представляет огромный интерес как один из немногих примеров детально реализованной тенденции в элиминировании предположения о существовании объектов, находящихся за пределами «данных», и заменить их конструкциями на основании этих данных26. Результат в этом случае был существенно отрицательным, то есть классы и концепции, введенные таким образом, не имеют всех свойств, требуемых для их использования в математике, пока не введены специальные аксиомы о данных (например, аксиома сводимости), которая, в сущности, уже означает существование в качестве данных тех видов объектов, которые предполагается конструировать, или сделаны предположения, что можно образовать суждения бесконечной (и даже несчетной) длины, то есть оперировать с истинностными функциями бесконечного количества аргументов, независимо от того, можно или нет их сконструировать.
0 коммент.:
Отправить комментарий