Кризис идентичности

1, со2, 2со2,... со3,... со3 + со2...

С другой стороны, ряд ординальных чисел — на самом деле каждый вполне упорядоченный ряд — не имеет никаких предельных точек, потому что не имеется терминов, за исключением последнего, которые не имеют непосредственных последующих элементов. Но если мы рассмотрим такой ряд, как ряд дробей, каждый член этого ряда есть в одно и то же время и верхняя и нижняя предельная точка для подходяще выбранных множеств. Если мы рассмотрим ряд действительных чисел и выберем из него рациональные действительные числа, это множество рациональных чисел будет иметь все действительные числа как верхние и нижние предельные точки. Предельные точки множества называются его «первыми производными», а предельные точки первых производных называются вторыми производными, и так далее.

Имея в виду пределы, мы можем различить несколько степеней того, что может быть названо «непрерывностью» в ряду. Слово «непрерывность» используется очень давно, но оставалось без точного определения вплоть до времени Дедекинда и Кантора. Оба эти человека придали этому термину точное значение, но определение Кантора уже, чем определение Дедекинда: ряд, непрерывный по Кантору, должен быть непрерывным по Дедекинду, но не наоборот.

Первое определение, которое приходит в голову человеку, пытающемуся придать точное значение непрерывности ряда, состоит в том, что мы назвали «компактностью», то есть в том, что между двумя любыми терминами ряда имеются другие термины. Но это было бы неадекватным определением, потому что существуют «пробелы» в рядах, таких как, например, ряд рациональных чисел. Мы видели в главе VII, что имеется бесчисленное количество способов, которыми ряд рациональных чисел может быть разделен на две части, из которых одна предшествует другой, и в первой нет последнего термина, а вторая не имеет первого термина. Такое положение дел как будто противоречит неясному чувству, которое есть у нас по поводу того, как охарактеризовать «непрерывность», и больше того, оно показывает, что ряд рациональных чисел это не тот ряд, который нужен для многих математических целей. Рассмотрим, например, геометрию: мы хотели бы быть способны утверждать, что при пересечении двух прямых они имеют общую точку, но если ряд точек на прямой был бы подобен ряду рациональных чисел, две прямых могли бы пересечься в «пробеле» и не иметь общей точки.