Мы можем доказать, что конечное число всегда является умножительным, но мы не можем доказать этого в отношении любого бесконечного числа. Аксиома мультипликативности эквивалентна предположению, что все кардинальные числа являются умножительными. Но для того, чтобы отождествить рефлективность с неиндуктивностью, или же иметь дело с проблемой ботинок и носков, или показать, что любая прогрессия чисел второго класса относится ко второму классу, мы нуждаемся в гораздо более скромном предположении, нежели предположение о том, что К0 является умножительным.
Не так уж невероятно, что многое еще откроется в тех темах, которые были предметом обсуждения в данной главе. Возможно, будут обнаружены такие случаи, когда предложения, доказанные с использованием аксиомы мультипликативности, будут доказаны без нее. Вполне допустимо, что будет показана ложность аксиомы мультипликативности в ее общей форме. С этой точки зрения теорема Цермело предлагает лучшие надежды: континуум или некоторые еще более плотные ряды, как могло бы быть доказано, не могут иметь вполне упорядочения своих терминов, что и доказало бы ложность аксиомы мультипликативности через теорему Цермело. Но до сих пор неизвестен метод, с помощью которого такие результаты могут быть обнаружены, и этот вопрос пребывает в полной неясности.
Глава XIII
0 коммент.:
Отправить комментарий