Дифференциация продуктов

Stetigkeit und irrationale Zahlen, 2 Auflage, Brunswick, 1892.

ром из наших четырех случаев мы говорим, что максимум нижней секции есть низший предел верхней секции, или же любое множество терминов выбрано из верхней секции таким образом, что ни один термин из верхней секции не стоит перед ними. В третьем из наших четырех случаев мы говорим, что минимум верхней секции есть верхний предел нижней секции, или некоторое множество терминов выбрано из нижней секции таким образом, что ни один термин из нижней секции не находится после них. В четвертом случае мы говорим, что имеется «пробел»: ни верхняя секция, ни нижняя не имеют предела или последнего термина. В этом случае мы можем также сказать, что мы имеем «иррациональную секцию», так как секции рядов рациональных чисел имеют «пробелы», которые соответствуют иррациональным числам.

Задержкой в развитии истинной теории иррациональных чисел была ошибочная вера в то, что должны быть «пределы» в рядах рациональных чисел. Понятие предела является чрезвычайно важным, и перед тем, как пойти дальше, было бы хорошо определить его.

Термин х является «верхним пределом» класса а в связи с отношением Р, если (1) а не имеет максимума в Р, (2) каждый член а, который принадлежит к полю Р, предшествует х, (3) каждый член поля Р, который предшествует х, предшествует некоторому члену а. (Под «предшествует» мы подразумеваем «имеет отношение Р к».)