Переселения народов

Являются шестью различными рядами, имеющими одно и то же поле. Если бы поле было рядом, то тут был бы только один ряд с данным полем. Что отличает друг от друга эти шесть рядов, так это просто различные упорядочивающие отношения в этих шести случаях. Если задано упорядочивающее отношение, поле и порядок вполне определены. Таким образом, упорядочивающее отношение может быть взято в качестве ряда, но поле не может быть взято в качестве такового.

Если дано некоторое отношение порядка, скажем, Р, мы будем говорить в связи с этим отношением, что х «предшествует» у, если х имеет отношение Р к у, что запишется для краткости в виде хРу. Вот три характеристики, которые Р должно иметь для того, чтобы быть Порядковым отношением:

(1) Мы никогда не должны иметь хРх, то есть термин не должен предшествовать самому себе.

(2) Р2 должен влечь Р, то есть если х предшествует у и у предшествует z, то х должен предшествовать z.

(3) Если хиу являются двумя различными терминами в поле Р, мы будем иметь хРу или уРх, то есть один из них должен предшествовать другому.

Читатель может легко убедиться в том, что там, где эти три свойства обнаруживаются в порядковом отношении, там же могут быть найдены характеристики, которые мы ожидаем от ряда, и наоборот. Мы, следовательно, оправданы в том, что берем вышеприведенные определения как определение порядка или ряда. И следует заметить, что определение сделано в чисто логических терминах.

Хотя транзитивное асимметричное связное отношение всегда существует, когда имеется ряд, это не всегда отношение, которое могло бы рассматриваться как наиболее естественное для порождения ряда. Ряд натуральных чисел может служить примером. Отношение, которое предполагается при рассмотрении этого ряда, это отношение непосредственного последующего элемента, то есть отношение между двумя последующими целыми числами. Это отношение является асимметричным, но не транзитивным или связным. Мы можем, однако, вывести из него методом математической индукции отношение «предшествования», которое рассматривалось нами в прошлой главе. Это отношение будет таким же, как и отношение «больше или равно», среди индуктивных целых чисел. С целью порождения ряда натуральных чисел нам нужно отношение «меньше, чем» с отбрасыванием «равно».