Группы навыков

Если же мы возьмем пять аксиом Пеано, мы будем иметь следующие переводы:

1 См.: Principia Mathematica, vol. ii, "123.

1. «0 есть число» становится: «Член области, который не является членом обратной области, есть член области». Это эквивалентно существованию такого члена, который задается нашим определением. Мы будем называть этот член «первым термином».

2. «Последующий элемент некоторого числа есть число» становится: «Термин, к которому данный член области имеет соответствующее отношение, также есть член области». Это доказывается следующим образом: по определению, каждый член области есть член множества последующих элементов первого термина: отсюда последующий элемент члена области должен быть членом множества последующих элементов первого термина (потому что множество последующих элементов термина всегда содержит его собственные последующие элементы, по общему определению этого множества) и, следовательно, членом области, поскольку, по определению множество последующих элементов первого члена, есть то же самое, что и область.

3. «Нет двух таких чисел, которые имели один и тот же последующий элемент». Достаточно сказать, что в противоположном случае отношение было бы одно-многозначным, тогда как по определению оно одно-однозначное.

4. «О не есть последующий элемент ни для какого числа» становится «Первый термин не есть член обратной области», что опять-таки является непосредственным следствием определения.

5. Это математическая индукция, и она принимает вид: «Каждый член области принадлежит множеству последующих элементов первого термина», что есть часть нашего определения.

Таким образом, прогрессии, как мы их определили, имеют пять формальных свойств, из которых Пеано дедуцировал арифметику. Легко показать, что две прогрессии «подобны» в смысле, определенном для подобия отношения в главе VI. Мы можем, конечно, вывести отношение, которое является порядковым, из одно-однозначного отношения, которым мы определили прогрессию: используемый тут метод объяснен в главе IV, и соотносятся тут термин с членом его собственного множества последующих элементов в связи с исходным одно-однозначным отношением.

Два транзитивных асимметричных отношения, порождающих прогрессии, являются подобными по тем же самым причинам, что соответствующие одно-однозначные отношения подобны.