Период борьбы в искусстве

Они, кроме того, представляют передовой фронт знания, за которым царит неизвестность, и власть знания здесь не совсем еще крепка.

Принято говорить, что математика это наука о «количестве». «Количество» — это расплывчатое слово, но ради упрощения аргумента мы можем заменить его словом «число». Утверждение, что математика есть наука о числе, будет неверным по двояким основаниям. С одной стороны, имеются такие разделы математики, которые совсем не имеют дел с числами, — например, вся геометрия, которая не использует координат или измерений: проективная или дескриптивная геометрия до тех пор, пока не вводятся координаты, не имеет дела с числом или даже количеством в смысле больше или меньше. С другой стороны, через определение кардинальных чисел, через теорию индукции и наследственных отношений, через общую теорию рядов и через определения арифметических операций становится возможным обобщить многое, что доказывалось только в связи с числами. В результате то, что ранее считалось уделом только Арифметики, разделилось на несколько областей, из которых ни одна не связана специально с числами. Большая часть элементарных свойств чисел имеет дело с одно-однозначными отношениями и подобием между классов. Сложение имеет дело с конструированием взаимно исключающих классов, подобных множеству классов, о которых неизвестно, являются ли они взаимно исключающими. Умножение сливается с теорией «выборок», то есть с определенного рода одно-многозначных отношений. Конечность сливается с общим исследованием наследственных отношений, которое дает полную теорию математической индукции. Ординальные свойства различных видов числовых рядов и элементы теории непрерывных функций и их пределов могут быть обобщены таким образом, чтобы в них не было существенного обращения к числам. Принципом всего формального мышления является стремление к самому широкому обобщению, что гарантирует самое широкое применение процессов дедукции. И обобщая мышление в арифметике, мы, таким образом, следуем рецепту, который уже повсеместно принят в математике. И такого рода обобщением мы на самом деле создаем множество новых дедуктивных систем, в которых традиционная арифметика растворяется и расширяется.