Без имени

2 Рамсей Ф. П. Основания математики. С. 17

3 Carnap R. The Logicist Foundations of Mathematics II Philosophy of Mathematics (eds. Benacerraf P., Putnam H.). Englewood Cliffs: Prentice-Hall, 1964. P. 31-41.

Действительно, дальнейшее развитие программы логицизма в большей степени связано с именем Ф. П. Рамсея, который попытался восполнить принципиальный недостаток подхода Рассела, указав недостаточность критерия общности математических утверждений. В качестве достаточного критерия он вводит признак тавтологичности в смысле Витгенштейна. Рамсей считает, что помимо совершенно общего содержания утверждения математики должны быть тавтологичны по форме, т. е. аналитически истинными. В этом отношении аксиома сводимости безусловно не является логическим принципом. И от нее в рамках программы сведения математики к логике следует избавиться. Рамсей добивается этого построением теории типов, основанной на совершенно иных принципах. Он отказывается от универсальности принципа порочного круга, разводя парадоксы на две группы: логические и семантические. К первой относятся парадоксы Рассела, Кантора и Бурали-Форти, ко второй — парадоксы Лжеца, Греллинга, Ришара и т. п. С точки зрения Рамсея, для решения первых достаточно простой теории типов. Вторые базируются на принципиально иных основаниях. Если парадоксы первой группы связаны с природой математических объектов и действительно относятся к математике и принятым в ней способам рассуждения, то парадоксы второй группы связаны с избранными способами выражения и к содержанию математики никакого отношения не имеют. Как считает Рамсей, для их решения достаточно развести объективную область значения функций и средства выражения этих функций. Этого будет вполне достаточно, так как тип функций будет характеризовать то, что относится к их объективному значению, а порядок — к способу их выражения. Таким образом, порядок не является объективной характеристикой математических утверждений, и в рамках математических утверждений его можно игнорировать, отдавая решение парадоксов второй группы в компетенцию адекватно понятой системы обозначения. Нетрудно заметить, что в этом случае аксиома сводимости становится излишней.